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亨利·勒贝格的勒贝格积分

勒贝格积分和黎曼积分的区别与联系 区别 定义域的限制：狭义Riemann积分：只能定义在有界集上，对被积函数和积分区域都有较为严格的限制。L-积分（勒贝格积分）：无此限制，可以定义在无界集上，对被积函数的连续性、可微性等性质要求较低，只要求函数是有界的或可测的。

勒贝格积分是分析数学中普遍使用的工具，是对黎曼积分的重要推广。以下是关于勒贝格积分的详细解释：定义与背景：勒贝格积分，简称积分，由法国数学家H.L.勒贝格于1902年建立。它克服了黎曼积分积分）的许多局限性，使得更多类型的函数可以进行积分。

积分是“和”的概念。即将东西加起来。所以积分早期是从面积，路程等计算中发展起来。比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将小区间的高度（Y值）乘以小区间的长度，然后加起来。用极限法就可以求得精确的面积。这是传统的积分概念（黎曼积分）。

勒贝格积分就是求解相关问题的基础工具。总结勒贝格积分虽然听起来复杂，但其实它的核心思想很简单：就是根据函数的“胖瘦”来灵活地切分区域并计算面积。通过蒙特卡洛方法等直观的方式，我们可以更好地理解勒贝格积分的原理和应用。

测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。在一维实空间中，一个区间A= [a，b] 的勒贝格测度μ（A）是区间的右端值减去左端值，ba。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。

对于勒贝格积分的积分存在性定理，若存在可测分划使得积分值成立，那么函数在给定集上勒贝格可积。这个定理证明了勒贝格积分的充分性和必要性，确保了积分存在的条件。对于无界函数的勒贝格积分定义，通过截断函数的概念引入。对于非负无界函数，定义其勒贝格积分为对于任意正数的截断函数的积分和的极限。

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